Il primo teorema che Pugh dimostra una volta che ha definito l'integrale di Riemann è che integrabilità implica limitatezza. Questo è il Teorema 15 a pagina 155 nella mia edizione. Questo dimostra che bisogna prima essere d'accordo sulle definizioni.
L'integrabile di Riemann implica un limite?
Teorema 4. Ogni funzione integrabile di Riemann è limitata.
Le funzioni non limitate sono integrabili?
Una funzione illimitata non è Riemann integrabile. Di seguito, “integrabile” significherà “integrabile di Riemann, e “integrale” significherà “integrale di Riemann” se non diversamente specificato. f(x)={ 1/x se 0 < x ≤ 1, 0 se x=0. quindi le somme di Riemann superiori di f non sono ben definite.
Una funzione integrabile di Lebesgue è limitata?
Le funzioni misurabili limitate sono equivalenti alle funzioni integrabili di Lebesgue. Se f è una funzione limitata definita su un insieme misurabile E con misura finita. Allora f è misurabile se e solo se f è integrabile con Lebesgue. … D' altra parte, le funzioni misurabili sono "quasi" continue.
Come fai a sapere se una funzione è integrabile con Lebesgue?
Se f, g sono funzioni tali che f=g quasi ovunque, allora f è integrabile con Lebesgue se e solo se g è integrabile con Lebesgue e gli integrali di f e g sono lo stesso se esistono.