In generale, convergenza puntuale non implica convergenza in misura. Tuttavia, per uno spazio di misura finito, questo è vero, e infatti in questa sezione vedremo che è vero molto di più.
La convergenza quasi ovunque implica la convergenza nella misura?
Lo spazio di misura in questione è sempre finito perché le misure di probabilità assegnano la probabilità 1 all'intero spazio. In uno spazio di misura finito, quasi ovunque la convergenza implica la convergenza nella misura. Quindi quasi convergenza implica convergenza in probabilità.
La convergenza puntuale implica continuità?
Sebbene ogni fn sia continua su [0, 1], il loro limite puntuale f non lo è (è discontinuo a 1). Pertanto, la convergenza puntuale non preserva, in generale, la continuità.
La convergenza in L1 implica una convergenza puntuale?
Quindi convergenza puntuale, convergenza uniforme e L1 convergenza non si implicano a vicenda. Tuttavia, abbiamo alcuni risultati positivi: Teorema 7 Se fn → f in L1, allora c'è una sottosequenza fnk tale che fnk → f puntuale a.e.
Cos'è la convergenza nella teoria della misura?
In matematica, più specificamente la teoria delle misure, esistono varie nozioni di convergenza delle misure. Per un senso generale intuitivo di cosa si intende per convergenza di misura, si consideri una sequenza di misure μ su uno spazio, condividendo una collezione comunedi insiemi misurabili.