Sia P un sottogruppo p di Sylow di G. … Se G è semplice, allora ha 10 sottogruppi di ordine 3 e 6 sottogruppi di ordine 5. Tuttavia, poiché questi gruppi sono tutti ciclici di ordine primo, qualsiasi elemento non banale di G è contenuto al massimo in uno di questi gruppi.
I gruppi P sono ciclici?
Il gruppo banale è l'unico gruppo di ordine uno, e il gruppo ciclico C p è l'unico gruppo di ordine p.
I sottogruppi sono ciclici?
Teorema: Tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici. Se G=⟨a⟩ è ciclico, allora per ogni divisore d di |G| esiste esattamente un sottogruppo di ordine d che può essere generato da a|G|/d a | G | / d. Dimostrazione: Sia |G|=dn | G |=d n.
I sottogruppi P Sylow sono normali?
Se G ha esattamente un sottogruppo p di Sylow, deve essere normale da Unique Subgroup di un dato ordine è Normal. Supponiamo che un Sylow p-sottogruppo P sia normale. Quindi è uguale ai suoi coniugati. Quindi, per il Terzo Teorema di Sylow, ci può essere solo uno di questi sottogruppi p di Sylow.
I sottogruppi P sylow sono abeliani?
Dimostriamo che i p-sottogruppi di Sylow di un gruppo finito G sono abelian se e solo se le dimensioni delle classi degli elementi p di G sono tutte coprimi di p, e, se p ∈ { 3, 5 }, il grado di ogni carattere irriducibile nel blocco p principale di G è coprime con p.