Completezza dello spazio metrico non è preservata dall'omeomorfismo.
Cosa preserva l'omeomorfismo?
Un omeomorfismo, chiamato anche trasformazione continua, è una relazione di equivalenza e corrispondenza biunivoca tra punti in due figure geometriche o spazi topologici che è continua in entrambe le direzioni. Un omeomorfismo che conserva anche distanze è chiamato isometria.
Un omeomorfismo conserva la compattezza?
3.3 Proprietà degli spazi compatti
Abbiamo notato in precedenza che la compattezza è una proprietà topologica di uno spazio, vale a dire è preservata da un omeomorfismo. Inoltre, è preservato da qualsiasi funzione continua.
La completezza è una proprietà topologica?
La completezza non è una proprietà topologica, cioè non si può dedurre se uno spazio metrico è completo solo guardando lo spazio topologico sottostante.
Perché il limite non è una proprietà topologica?
Per gli spazi metrici abbiamo una nozione di limitatezza: ovvero uno spazio metrico è limitato se esiste un numero reale M tale che d(x, y) ≤ M per ogni x, y. Il limite non è una proprietà topologica. Ad esempio, (0, 1) e (1, ∞) sono omeomorfe ma una è limitata e l' altra no. ∞ n=1 è una sequenza di punti in X.