In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è chiamato in nessun luogo denso o raro se la sua chiusura ha un interno vuoto. In un senso molto ampio, è un insieme i cui elementi non sono strettamente raggruppati da nessuna parte. Ad esempio, i numeri interi non sono densi tra i reali, mentre una palla aperta non lo è.
1 N non è denso da nessuna parte?
Un esempio di un insieme che non è chiuso ma non è ancora denso da nessuna parte è {1n|
∈N}. Ha un punto limite che non è nell'insieme (vale a dire 0), ma la sua chiusura non è ancora densa da nessuna parte perché nessun intervallo aperto si adatta a {1n|n∈N}∪{0}.
Come fai a dimostrare che un set non è denso da nessuna parte?
Un sottoinsieme A ⊆ X è chiamato in nessun luogo denso in X se l'interno della chiusura di A è vuoto, cioè (A)◦=∅. In caso contrario, A non è denso da nessuna parte se è contenuto in un insieme chiuso con interno vuoto. Passando ai complementi, possiamo dire equivalentemente che A non è denso da nessuna parte se il suo complemento contiene un aperto denso (perché?).
Cosa significa ovunque denso?
Un sottoinsieme A di uno spazio topologico X è denso per cui la chiusura è l'intero spazio X (alcuni autori usano la terminologia ovunque denso). Una definizione alternativa comune è: un insieme A che interseca ogni sottoinsieme aperto non vuoto di X.
Tutti i set densi sono aperti?
Uno spazio topologico X è iperconnesso se e solo se ogni insieme non vuoto è denso in X. Uno spazio topologico è submassimale se e solo seogni sottoinsieme denso è aperto.
