In matematica, un gruppo abeliano, chiamato anche gruppo commutativo, è un gruppo in cui il risultato dell'applicazione dell'operazione di gruppo a due elementi di gruppo non dipende dall'ordine in cui sono scritti.
Cosa sono i gruppi abeliani e non abeliani?
Definizione 0.3: Gruppo abeliano Se un gruppo ha la proprietà che ab=ba per ogni coppia di elementi aeb, diciamo che il gruppo è abeliano. Un gruppo non è abeliano se esiste una coppia di elementi aeb per i quali ab=ba.
Come si identifica un gruppo abeliano?
Modi per mostrare che un gruppo è abeliano
- Mostra il commutatore [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 di due elementi arbitrari x, y∈G x, y ∈ G deve essere l'identità.
- Mostra che il gruppo è isomorfo a un prodotto diretto di due (sotto)gruppi abeliani.
Qual è la differenza tra gruppo e gruppo abeliano?
Un gruppo è una categoria con un singolo oggetto e tutti i morfismi invertibili; un gruppo abeliano è una categoria monoidale con un unico oggetto e tutti i morfismi invertibili.
Quale gruppo è sempre abeliano?
Sì, tutti i gruppi ciclici sono abeliani. Ecco qualche dettaglio in più che aiuta a rendere esplicito il "perché" tutti i gruppi ciclici sono abeliani (cioè commutativi). Sia G un gruppo ciclico e g un generatore di G.
